$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．

$2$次関数$f(x)$があり，$f(0)=24$である．また，その導関数を$f^\prime(x)=ax-b$とおく．ただし，$a,\ b$はともに定数であり，$a>0$とする．このとき，

(1)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$f(1)=f(3)=0$である．
(2)$a=[][],\ b=[][]$ならば，$x=2.5$のとき$f(x)$が極小となり，その極小値は$-1$である．
(3)$f^\prime(1.5)=25$ならば，$f(3)=[][]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

関数$f(x)=-2x^3+3x^2+12x-5$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=a$で極小となり，$x=b$で極大となるとする．$f(b)-f(a)$を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_a^b (f^\prime(x)+ab) \, dx$を求めよ．