「極小値」について
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国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
私立 早稲田大学 2016年 第4問正の定数$a$に対して，$f(x)=ax^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$([ス],\ 0)$であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$のときである．
私立 京都薬科大学 2016年 第2問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．
(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．
(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．
私立 立教大学 2016年 第4問$c$を$0<c<1$を満たす実数とする．関数
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．
私立 自治医科大学 2016年 第21問関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+2} (a \neq 0)$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-2$で極小値$\displaystyle \frac{1}{2}$をとり，$x=1$で極大値$2$をとる．$|a+b-c|$の値を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 明治大学 2016年 第3問関数$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+14x+13$について考える．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
私立 工学院大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．
(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．
私立 埼玉工業大学 2016年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数）がある．
(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．
(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．
私立 東京経済大学 2016年 第4問関数$f(x)=x^3+ax^2-bx+c$は，$x=1$のとき極小値$2$をとり，$x=-3$のとき極大値をとる．このとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$であり，極大値は$[ネ][ノ]$である．