$a,\ b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．

$f(x)$を$x=-1$で極大，$x=2$で極小となる$3$次関数で
\[ \int_0^2 f^\prime(x) \, dx=-5 \]
を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は$f(\alpha)=f(\beta)=0 (\alpha \neq \beta)$を満たす．また，この関数は$x=\alpha$で極小値$0$をとり，$x=\gamma$で極大となる．このとき，
\[ \gamma=\frac{[コ] \alpha+[サ] \beta}{[シ]} \]
である．さらに，$\beta=4 \alpha$のとき，極大値と極小値の差が$32$であるとすると，
\[ a=[ス],\quad b=[セ],\quad c=[ソ] \]
である．

$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax|\sin ax} (x \geqq 0)$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とする．$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)$\mathrm{P}_n$の座標を$a,\ n$を用いて表せ．
(2)$S_n$を$a,\ n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{S_{n+1}}$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

$a>0$とし，関数
\[ f(x) = e^{-ax} \sin (\sqrt{3}ax) \]
は
\[ f^{\ \prime\prime}(x) + f^{\ \prime}(x) +f(x) = 0 \]
を満たすとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$x>0$において$f(x)$が極大となる$x$を小さい方から$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．$x_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$x_n$に対し，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(x_n)$を求めよ．

$a$を実数として，関数$\displaystyle f(x)=a \cos x-\frac{\cos x}{1+\sin x} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．

(1)$t=\sin x$とし，$f^\prime(x)$を$a$と$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=0$となるように$a$の値を定めよ．そのとき，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極大となることを示し，極大値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(3)$a$の値を$(2)$のように定めるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=-2x^3+3x^2+12x-5$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=a$で極小となり，$x=b$で極大となるとする．$f(b)-f(a)$を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_a^b (f^\prime(x)+ab) \, dx$を求めよ．