$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

$a$を実数として，関数$\displaystyle f(x)=a \cos x-\frac{\cos x}{1+\sin x} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．

(1)$t=\sin x$とし，$f^\prime(x)$を$a$と$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=0$となるように$a$の値を定めよ．そのとき，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極大となることを示し，極大値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(3)$a$の値を$(2)$のように定めるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とし，関数$f(x)=2x^3-3ax^2$と座標平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x)+b$を考える．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$3$次関数
\[ f(x)=ax(x-b)^2 \]
は$f(4)=27$をみたし，$0<x<4$において極大値$2$をもつ．$a,\ b$を求めよ．

$a,\ b$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)=x^4-ax^2+bx$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$を異なる実数とする．曲線$y=f(x)$の，$x=s$における接線の傾きと，$x=t$における接線の傾きが等しいとき，$a$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$が異なる$2$点で共通の接線$\ell$をもつとし，その接点の$x$座標の一つを$s$とする．

(i) $a$を$s$を用いて表せ．
(ii) $\ell$の方程式を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)関数$f(x)$が極大値をもつための必要十分条件を$a$と$b$に関する不等式で与えよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{x^2+c}$は$x=2$，$x=4$で極値をとり，$f(0)=3$を満たす．

(1)$a=[ク]$，$b=[ケコサ]$，$c=[シス]$である．
(2)関数$f(x)$は$x=[セ]$で極大値$[ソ]$をとり，$x=[タ]$で極小値$[チ]$をとる．

$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える．方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする．$f(0)=0$であることに注意せよ．

(1)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=2$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする．方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく．ただし，$\alpha<\beta$とする．

(i) $\alpha<0$であることを示せ．
(ii) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(iii) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく．$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と，最大値を与える$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．