関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx (a \neqq 0)$および$g(x)=mx (m \neq 0)$について，次の$(1),\ (2)$の問に答えなさい．

(1)関数$f(x)$が，$x=1$で極大値$4$，$x=3$で極小値$0$をとるように$a,\ b,\ c$の値を計算しなさい．
(2)$(1)$で求めた関数$f(x)$と$g(x)$が$3$点で交わるとき，$f(x)$と$g(x)$は$2$つの領域を囲むが，これら$2$つの領域の面積が等しくなるように$m$の値を計算しなさい．

$k$は定数とし，$k>0$とする．関数
\[ f(x)=(x+1)^3-\frac{3}{2}k(x+1)^2+2 \]
について次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)すべての$x \geqq 0$に対して，$f(x) \geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

$f(x)=x^4-4x^3-8x^2$とする．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそのときの$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に$2$点$(a,\ f(a))$と$(b,\ f(b)) (a<b)$で接する直線の方程式を求めよ．

関数$f(x)=px^3+qx^2+rx+s$は，$x=0$のとき極大値$M$をとり，$x=\alpha$のとき極小値$m$をとるという．ただし$\alpha \neq 0$とする．このとき，$p,\ q,\ r,\ s$を$\alpha,\ M,\ m$で表せ．

$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．

$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．

サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-3ax$（$a$は実数）が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値（$\alpha,\ \beta$は実数）をとるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．