関数$f(x)$を
\[ f(x)=3x^2-2ax+b \]
とする．ただし，$a,\ b$は実数である．また，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定義する．以下の問いに答えなさい．

(1)$F(x)$を求めなさい．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標は$-3$であり，$y=f(x)$のグラフと$y=F(x)$のグラフとは$x$軸上で原点以外の共有点をもつ．このとき，$a,\ b$を求めなさい．
(3)(2)で求めた$a,\ b$に対し，$y=F(x)$の極大値と極小値を求め，$y=F(x)$のグラフを描きなさい．

$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について，次の問に答えよ．

(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．

次の関数について問いに答えなさい．
\[ y=-2x^3-3x^2+12x-5 \]

(1)この関数の導関数$y^\prime$を求めなさい．
(2)導関数$y^\prime$が$0$になる点を求めなさい．
(3)関数$y$の極大値と極小値を求めなさい．
(4)関数$y$の増減表を書きなさい．

関数$f(x)=x^3-ax^2-a^2x+b$の極大値と極小値の差が$4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax+b$（$a,\ b$は定数）が$x=-1$で極大値$5$をとるとき，$a,\ b$の値は$[　]$であり，極小値は$[　]$である．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．

3次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2-\frac{a^3}{12}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ．