「極大値」について
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国立 香川大学 2010年 第4問3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
国立 東京学芸大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$について下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$がただ$1$つの極大値をもつことを示せ．また，そのときの$x$の値を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の整式で表せ．
(2)$f(\alpha)<1$を示せ．
(1)$f(x)$がただ$1$つの極大値をもつことを示せ．また，そのときの$x$の値を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の整式で表せ．
(2)$f(\alpha)<1$を示せ．
国立 防衛大学校 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第4問関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第4問関数$f(x)=(x^2+2x+a)e^{x+2}$が極大値と極小値をともに持つとし，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第2問関数$g(x)$は微分可能であるとし，関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_{-\pi}^\pi \{t-g(x)\sin t\}^2 \, dt$と定める．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi t \sin t \, dt,\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2 t \, dt$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を$g(x),\ g^\prime(x)$を用いて表せ．
(3)$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi t \sin t \, dt,\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2 t \, dt$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を$g(x),\ g^\prime(x)$を用いて表せ．
(3)$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第5問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問$3$次関数$\displaystyle f(x)=2x^3+ax^2-4ax+\frac{7}{3}a$が極大値と極小値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．