$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．

(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．

$k$を正の定数とする．関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{(x+1)^2} \quad\,\, (x>0) \nonumber \\
& & g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2} \qquad\qquad (x>0) \nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の増減を調べよ．
(2)$f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=a$で極値をとるとき，極値$f(a)$を$a$だけの式で表せ．
(4)$k$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{1}{8}$より小さいことを示せ．

関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-1$で極大値$13$をとり，$x=1$で，極小値$p$をとるものとする．$p$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$，$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$，$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$，$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．

(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．

関数$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-2a+3$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx-2$が$x=-1$で極大値$-1$をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．また，極小値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．