糸の長さ$L$，おもりの質量$m$の振り子の振れの角（水平面に垂直な直線と糸がなす角）の大きさを$\theta$とすると，$\theta$は時刻$t$の関数として
\[ mL \frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg \theta \cdots\cdots (*) \]
を満たす．ただし重力加速度$g$は一定とする．

(1)$\theta=a \cos (2 \pi \nu t+\delta)$（ただし$\nu,\ a,\ \delta$は定数で$\nu>0$，$a \neq 0$）が時刻$t=t_1$で極大値をとり，その後初めて極小値をとる時刻を$t=t_2$とするとき，$t_2-t_1=[$4$]$である．
(2)$(1)$の$\theta$が$(*)$を満たすとき，$\nu$を求めると$\nu=[$5$]$である．
(3)$(2)$の$\theta$に対して時刻$t$におけるこの振り子のエネルギー$E(t)$を
\[ E(t)=\frac{1}{2} mL^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2+\frac{1}{2}mgL \theta^2 \]
で与えるものとする．このとき$\displaystyle \frac{dE(t)}{dt}=[$6$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=[ア]+\sqrt{[イウ]}$である．
(2)整式$x^3-4x^2+7x+1$を$x^2-3x+2$で割った余りは$[エ]x+[オ]$である．
(3)$\displaystyle 3^{2x} \leqq \frac{9}{{27}^x}$をみたす$x$の範囲は$\displaystyle x \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)直線$2x+3y+5=0$と点$(-4,\ 1)$において垂直に交わる直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]$である．
(5)円$x^2+y^2=9$と円$x^2+(y+a)^2=9$が共有点をもつような定数$a$の値の範囲は$[サシ] \leqq a \leqq [ス]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(k,\ -2k,\ 5)$が$\overrightarrow{b}=(1,\ -2,\ -2)$に垂直であるとき，$k=[セ]$であり，$|\overrightarrow{a}|=[ソ] \sqrt{[タ]}$である．
(7)$1$個のサイコロを振り，出た目を$4$で割った余りを$X$とする．$X=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，また，$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(8)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+3x+1$（$a$は定数）が$x=3$で極値をとるとき，$a=[ナ]$であり，極大値は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x-2}{x+1}$について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=2x^3-3(a^2+a)x^2+6a^3x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$a$を正の定数とする．実数の変数$x$の関数$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．

$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．

$0<a<2\pi$とする．$0<x<2\pi$に対して
\[ F(x)=\int_x^{x+a} \sqrt{1- \cos \theta} \, d\theta \]
と定める．

(1)$F^\prime (x)$を求めよ．
(2)$F^\prime (x) \leqq 0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)$の極大値および極小値を求めよ．

$x$の関数
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．

$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．

(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．