$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{27}{10}\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \left( \frac{43}{2}-b_n \right)^2}+\frac{y^2}{\displaystyle \left( \frac{81}{10}+b_n \right)^2}=1$の面積を$S_n$で表すとき．$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

楕円$C:x^2+4y^2=4$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

楕円$C:x^2+4y^2=1$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{3}+y^2=1$上の点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{5}$および$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとき，$\tan 2\theta$と$\tan 4\theta$の値を求めよ．また，$\displaystyle 4\theta=\frac{\pi}{4}+\alpha$とおくとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right)$を，ある関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

原点を中心とする楕円$C$が媒介変数$t$を用いて
\[ x=2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\quad y=2 \sin t \]
と表される．ただし，$t$は$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)楕円$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と原点の距離を$l$とする．$l^2$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)楕円$C$の長軸の長さを求めよ．また，長軸と$x$軸のなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(3)楕円$C$の第$1$象限にある部分と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta)=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta \\
2 \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1$を$C$とする．

(1)$M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2)弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．

$xy$-平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0,\ t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．