楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$と直線$L:x-2y+10=0$について考える．楕円$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$L$に下ろした垂線と直線$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の最大値を$M$，最小値を$m$とするとき，$\displaystyle \frac{M}{m}$の値を求めよ．

$k$は定数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と直線$x+\sqrt{3}=ky$の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$とする．また楕円の$2$つの焦点を$\mathrm{F}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime (-\sqrt{3},\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の面積を$k$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の内接円の半径を最大にする$k$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．

(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．

(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．

(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．

(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．

このとき，$a$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$は次の条件を満たすとする．
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}

座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．

座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．

$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり，$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする．また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$，$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ．
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする．$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し，$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく．

(1)$f^\prime(\theta)=0$であるとき，$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ．
(2)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．
(4)$t$を$(3)$で求めた値とする．このとき，$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$の焦点を$\mathrm{F}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime(-a,\ 0)$とおく．ただし，$a>0$とする．また，$C$上の点$\mathrm{P}(b,\ c)$に対して，$\angle \mathrm{FPF}^\prime$の二等分線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$bc \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}:\mathrm{FP}=\mathrm{F}^\prime \mathrm{Q}:\mathrm{FQ}$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{FQ}}{\mathrm{FP}}$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の傾きは$\displaystyle \frac{4c}{b}$であることを示せ．