楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx$，$y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．

点$\mathrm{P}(3,\ 2)$から楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$に$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，それぞれの接点の座標を$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a<c$とする．次の問いに答えよ．

(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．

座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．