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福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第5問
半径1の円Oの中心Oを通る直線上に$\text{OA}=2$となるように点Aを定める.点Aを通り,円Oと2点B,Cで交わるような直線を引き,$\text{AB}=\text{BC}$となるようにしたい.2直線のなす角$\theta = \angle \text{OAB} \ (0^\circ <\theta<30^\circ)$をどのように定めればよいか.次の手順で検討せよ.

(1)線分BCの中点をMとして,線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ.
(2)同様に,線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である.これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ.
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