「桁数」について
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国立 岐阜大学 2014年 第3問${2014}^{10}$に関して，以下の問に答えよ．ただし，必要ならば${7}^9=40353607$および${7}^{10}=282475249$を用いてよい．
(1)${2014}^{10}$の十の位の数字を求めよ．
(2)${2014}^{10}$の十万の位の数字を求めよ．
(3)${2014}^{10}$の上$3$桁の数字を求めよ．
(1)${2014}^{10}$の十の位の数字を求めよ．
(2)${2014}^{10}$の十万の位の数字を求めよ．
(3)${2014}^{10}$の上$3$桁の数字を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第2問次の各問に答えよ．ここで，必要ならば$0.301<\log_{10}2<0.302$であることを用いてもよい．
(1)$k \leqq \log_{\sqrt{2}}25<k+1$を満たす自然数$k$を求めよ．
(2)$8^n$の桁数が$26$以上になる最小の自然数$n$を求めよ．例えば，$2014$の桁数は$4$である．
(1)$k \leqq \log_{\sqrt{2}}25<k+1$を満たす自然数$k$を求めよ．
(2)$8^n$の桁数が$26$以上になる最小の自然数$n$を求めよ．例えば，$2014$の桁数は$4$である．
国立 愛媛大学 2014年 第3問$A$は$3$桁の自然数で，その百の位の数$x$，十の位の数$y$，一の位の数$z$は，
\[ 100x+10y+z=x!+y!+z! \]
を満たしている．
(1)$6!$の値を求め，$x,\ y,\ z$はすべて$5$以下であることを示せ．
(2)$x$は$3$以下であることを示せ．
(3)$y,\ z$のうち少なくとも$1$つは$5$であることを示せ．
(4)$A$を求めよ．
\[ 100x+10y+z=x!+y!+z! \]
を満たしている．
(1)$6!$の値を求め，$x,\ y,\ z$はすべて$5$以下であることを示せ．
(2)$x$は$3$以下であることを示せ．
(3)$y,\ z$のうち少なくとも$1$つは$5$であることを示せ．
(4)$A$を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第4問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．