「桁数」について
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国立 山梨大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第4問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$a$は$2^{2 \log_4 48-\log_2 \frac{3}{4}}$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．このとき，
(1)$a$の値を整数で表すと$[$53$][$54$]$である．
(2)$a^{30}$は$[$55$][$56$]$桁の数である．
(3)$b$は，$b^{50}$を小数で表すと小数第$25$位に初めて$0$でない数字が現れる正の数である．このとき$\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^4$を小数で表すと，小数第$[$57$][$58$]$位に初めて$0$でない数字が現れる．
(1)$a$の値を整数で表すと$[$53$][$54$]$である．
(2)$a^{30}$は$[$55$][$56$]$桁の数である．
(3)$b$は，$b^{50}$を小数で表すと小数第$25$位に初めて$0$でない数字が現れる正の数である．このとき$\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^4$を小数で表すと，小数第$[$57$][$58$]$位に初めて$0$でない数字が現れる．
私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第6問$150$個の整数$2^1,\ 2^2,\ \cdots,\ 2^{150}$に対して，次の設問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)最下位の数字が$2$になるものは何個あるか．
(2)$2^{150}$は何桁の数か．
(3)最上位の数字が$1$になるものは何個あるか．
(1)最下位の数字が$2$になるものは何個あるか．
(2)$2^{150}$は何桁の数か．
(3)最上位の数字が$1$になるものは何個あるか．
私立 広島工業大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$が$a_1=9$，$a_{n+1}=15a_n$を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{21}$は何桁の整数か．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{21}$は何桁の整数か．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
私立 東北学院大学 2015年 第4問自然数$n$に対し，次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第3問${25}^{25}$の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とする．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第5問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．
(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．