「桁数」について
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私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる適切な数を記入しなさい．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
公立 尾道市立大学 2016年 第3問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の数字が書いてある$7$個の石がある．このとき次の問いに答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
公立 岡山県立大学 2016年 第1問整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から三つの整数を重複なく選び，それを並べて$3$桁の整数を作る．次の問いに答えよ．
(1)このような整数は何個あるか．
(2)このような整数をすべて足し合わせるといくらになるか．
(3)このような整数のうち，$2$の倍数は何個あるか．
(4)このような整数のうち，$3$の倍数は何個あるか．
(5)このような整数を重ねて$6$桁の整数を作る．例えば，$215$を重ねて$215215$とする．このようにしてできた$6$桁の整数は$7$の倍数であることを示せ．
(1)このような整数は何個あるか．
(2)このような整数をすべて足し合わせるといくらになるか．
(3)このような整数のうち，$2$の倍数は何個あるか．
(4)このような整数のうち，$3$の倍数は何個あるか．
(5)このような整数を重ねて$6$桁の整数を作る．例えば，$215$を重ねて$215215$とする．このようにしてできた$6$桁の整数は$7$の倍数であることを示せ．
公立 兵庫県立大学 2016年 第4問数字$0$を$6$個，数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$個ずつ使ってできる$10$桁の整数について，次の問いに答えよ．
(1)全部で何個の整数ができるか．
(2)$0$が$4$個続くが，$5$個は続かない整数は何個できるか．
(1)全部で何個の整数ができるか．
(2)$0$が$4$個続くが，$5$個は続かない整数は何個できるか．
公立 県立広島大学 2016年 第3問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}5$，$\log_{10}6$の値を求めよ．
(2)$3^{100}$の桁数を求めよ．
(3)$3^{100}$の最高位の数字を求めよ．
(4)$(3.75)^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ．
(1)$\log_{10}5$，$\log_{10}6$の値を求めよ．
(2)$3^{100}$の桁数を求めよ．
(3)$3^{100}$の最高位の数字を求めよ．
(4)$(3.75)^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ．
国立 鳥取大学 2015年 第1問$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
国立 鳥取大学 2015年 第2問$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数
国立 鳥取大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．