$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$の$6$つの数字を重複せずに用いて，$n$桁の整数を作る（$n \leqq 6$）．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=3$，すなわち$3$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$5$にならないような整数はいくつできるか．
(2)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$3$にならないような整数はいくつできるか．
(3)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和が$5$になる箇所が$2$つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．

次の問いに答えよ．

(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．

(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

(1)$2^{2011}$は何桁の整数か．
(2)$2^{2011}$の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば$729$の場合は$7$を指す．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

(1)$2^{2011}$は何桁の整数か．
(2)$2^{2011}$の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば$729$の場合は$7$を指す．

数列
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[　]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[　]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[　]$．

$a>0,\ b>0$は次の式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
ab-b^2+5a-2b+15=0 & \cdots\cdots① \\
a^ab^b-a^bb^a-999a^ab^a=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
次の問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771,\ \log_{10}7=0.8451$とする．

(1)$b-a$の値を求めよ．
(2)$a$および$b$の値を求めよ．
(3)$a^{50}$は何桁の整数か．
(4)$a^{50}$の最高位の数字を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)$25^3$を計算して，その答えを$A \times 10^3+625$の形に表したとき，$A$の値を求めよ．ただし，$A$は$0$以上の整数とする．
(2)$2$以上の自然数$n$に対して，$25^n$の下$3$桁は$625$になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$25^{25}$の下$4$桁の数値を求めよ．