次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[　]+[　] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[　]}{[　]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[　]}{[　]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[　]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[　]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[　]$または$b=[　]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ナ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．

$0$以上の整数を$10$進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0$は$0$桁の数と考えることにする．また$n$は正の整数とする．

(1)各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．
(2)各桁の数が$0,\ 1,\ 2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての総和$S_n$をとする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれは，$0.301 < \log_{10}2< 0.302$および$0.477<\log_{10}3<0.478$を用いてもよい．

数列$\{ a_n \}$を$a_1 = 2,\ a_{n+1}=a_n 2^{6n^2} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$b_n = \log_2 a_n$とし，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_{10}$の桁数を求めよ．ただし$\log_{10}2 = 0.3010$とする．

数列$\{ a_n \}$を$a_1 = 2,\ a_{n+1}=a_n 2^{6n^2} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$b_n = \log_2 a_n$とし，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_{10}$の桁数を求めよ．ただし$\log_{10}2 = 0.3010$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)$5$桁の整数
(2)$5$桁の整数で$2$の倍数
(3)$5$桁の整数で$3$の倍数
(4)$5$桁の整数で$4$の倍数
(5)$5$桁の整数で$6$の倍数

次の問いに答えよ．

(1)中心が点$(1,\ 2)$，半径が3の円がある．点$\mathrm{P}$がこの円上を動くとき，点$\mathrm{A}(-3,\ 6)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(2)5個の数字1，2，3，4，5から異なる3個を取って3桁の自然数を作る．3の倍数にも5の倍数にもならないものはいくつあるか．