「桁数」について
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私立 広島国際学院大学 2012年 第3問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字を使って$3$桁の数を作る．
(1)各桁の数字に重複を許すとき，全部で何個作れますか．
(2)各桁の数字が異なるとき，全部で何個作れますか．
(1)各桁の数字に重複を許すとき，全部で何個作れますか．
(2)各桁の数字が異なるとき，全部で何個作れますか．
私立 津田塾大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
私立 昭和大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．
私立 中央大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．
（図は省略）
(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．
（図は省略）
私立 福岡大学 2012年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
私立 産業医科大学 2012年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
私立 千葉工業大学 2012年 第2問次の各問に答えよ．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 千葉工業大学 2012年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．
私立 吉備国際大学 2012年 第1問次の（ \quad ）を埋めよ．
(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．
(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．