「桁数」について
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公立 名古屋市立大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(1)$2013^{25}$の一の位の数字を求めよ．
(2)$13^{2013}$を$5$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$3^{2013}$は何桁の数か．
(4)$3^{2013}$の最高位の数を求めよ．
(1)$2013^{25}$の一の位の数字を求めよ．
(2)$13^{2013}$を$5$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$3^{2013}$は何桁の数か．
(4)$3^{2013}$の最高位の数を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2013年 第1問次の$(1)$から$(6)$の$[ ]$に適する答えを書きなさい．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
公立 京都府立大学 2013年 第3問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問いに答えよ．
(1)${18}^{20}$の桁数を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \left( \frac{4}{15} \right)^{n}$は小数で表すと，小数第$1$位から小数第$9$位まですべて$0$で，かつ小数第$10$位が$0$でない数字になるとする．このとき，$n$をすべて求めよ．
(1)${18}^{20}$の桁数を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \left( \frac{4}{15} \right)^{n}$は小数で表すと，小数第$1$位から小数第$9$位まですべて$0$で，かつ小数第$10$位が$0$でない数字になるとする．このとき，$n$をすべて求めよ．
公立 北九州市立大学 2013年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．
(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．
国立 広島大学 2012年 第1問$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
国立 東京工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．
(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．
国立 新潟大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}3$は無理数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{6}{13} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$3^{26}$の桁数を求めよ．
(1)$\log_{10}3$は無理数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{6}{13} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$3^{26}$の桁数を求めよ．
国立 大阪教育大学 2012年 第2問$m$を9以下の自然数とする．箱の中に$m$枚のカードが入っており，それぞれのカードに$1,\ 2,\ \cdots,\ m$の数字がひとつずつ書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを1枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を2回繰り返す．1回目に引いたカードに書かれた数字を$a$，2回目に引いたカードに書かれた数字を$b$とし，また，$a$を十の位，$b$を一の位とする，2桁の数を$n$とする．次の問に答えよ．
(1)$a+b$が3で割り切れる確率と$n$が3で割り切れる確率は等しいことを示せ．
(2)$a+2b$を3で割った余りと$n$を3で割った余りが等しくなる確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$となる$m$をすべて求めよ．
(1)$a+b$が3で割り切れる確率と$n$が3で割り切れる確率は等しいことを示せ．
(2)$a+2b$を3で割った余りと$n$を3で割った余りが等しくなる確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$となる$m$をすべて求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第4問箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．
(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）
(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2012年 第4問$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n$，そうで
ない数の個数を$b_n$とする．
\[ a_1= [ク], \quad b_1=[ケ] \]
である．また，
\[ a_n+b_n = [コ]^n \]
であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて，
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる．
\[ p=[サ],\quad q=[シ] \]
である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと，
\[ c_{n+1} = \frac{[ス]}{2}c_n + \frac{[セ]}{2}, \quad c_1 = [ソ] \]
となる．よって，
\[ a_n = \frac{[タ]}{3}\left([チ]\right)^n + \frac{[ツ]^n}{3} \]
である．
ない数の個数を$b_n$とする．
\[ a_1= [ク], \quad b_1=[ケ] \]
である．また，
\[ a_n+b_n = [コ]^n \]
であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて，
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる．
\[ p=[サ],\quad q=[シ] \]
である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと，
\[ c_{n+1} = \frac{[ス]}{2}c_n + \frac{[セ]}{2}, \quad c_1 = [ソ] \]
となる．よって，
\[ a_n = \frac{[タ]}{3}\left([チ]\right)^n + \frac{[ツ]^n}{3} \]
である．