「桁数」について
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公立 大阪府立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
公立 奈良県立医科大学 2014年 第6問$2$桁の自然数で，正の約数を最も多くもつものをすべて挙げよ．
公立 北九州市立大学 2014年 第3問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問題に答えよ．
(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．
(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第3問$47^{100}$は$168$桁の整数である．$47^{17}$の桁数を$(20+n)$で表すとき，$n$の値を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第4問大小$2$個のさいころを投げたとき，大のさいころの出た目を$10$の位，小のさいころの出た目を$1$の位とする$2$桁の数をつくる．このとき，この数を$3$で割った余りが$1$となる確率を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第4問大小$2$個のさいころを投げたとき，大のさいころの出た目を$10$の位，小のさいころの出た目を$1$の位とする$2$桁の数をつくる．このとき，この数を$3$で割った余りが$1$となる確率を求めよ．
私立 東北学院大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式$3^{x+1} \leqq 11+4 \times 3^{-x}$を解け．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$の$n$乗が$n$桁の数となるような$n$の値をすべて求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(1)不等式$3^{x+1} \leqq 11+4 \times 3^{-x}$を解け．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$の$n$乗が$n$桁の数となるような$n$の値をすべて求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
私立 東北学院大学 2013年 第5問$7$個の数字$1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$をすべて用いて$7$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)全部で何個できるか．
(2)これらの整数を小さい順に並べるとき，$3211231$は何番目に現れるか．
(1)全部で何個できるか．
(2)これらの整数を小さい順に並べるとき，$3211231$は何番目に現れるか．
私立 名城大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$\displaystyle x+y=6,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$のとき，$(x-2)(y-2)=[ア]$であり，$x^2+y^2=[イ]$である．
(2)$32$の正の約数の数は$[ウ]$個，$288$の正の約数の数は$[エ]$個である．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{2} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\sin 2\theta=[オ]$であり，$\sin 4\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とするとき，$2^{50}$は$[キ]$桁，$3^{80}$は$[ク]$桁の整数である．
(1)$\displaystyle x+y=6,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$のとき，$(x-2)(y-2)=[ア]$であり，$x^2+y^2=[イ]$である．
(2)$32$の正の約数の数は$[ウ]$個，$288$の正の約数の数は$[エ]$個である．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{2} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\sin 2\theta=[オ]$であり，$\sin 4\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とするとき，$2^{50}$は$[キ]$桁，$3^{80}$は$[ク]$桁の整数である．
私立 名城大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．
(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．