次の問いに答えよ．

(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．

一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．

(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．

$3$桁の自然数を全体集合として次の問に答えよ．

(1)$7$で割り切れない$3$桁の自然数は$[$10$][$11$][$12$]$個ある．
(2)$3$でも$5$でも割り切れない$3$桁の自然数は$[$13$][$14$][$15$]$個ある．
(3)$3$でも$5$でも$7$でも割り切れない$3$桁の自然数は$[$16$][$17$][$18$]$個ある．
(4)$3$で割り切れて，$7$で割り切れない$3$桁の自然数は$[$19$][$20$][$21$]$個ある．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．

次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．

(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3^{2014}$は$[ア]$桁の数であり，最も大きい位の数字は$[イ]$，一の位の数字は$[ウ]$である．ただし，
\[ \log_{10}2=0.3010,\quad \log_{10}3=0.4771,\quad \log_{10}7=0.8451 \]
とする．
(2)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -2x^2-8x-3 \\
y \geqq |3x+6| \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で表される座標平面上の領域を$D$とする．

(i) $D$の面積は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(ii) 点$(x,\ y)$が$D$を動くとする．

\mon[$\mathrm{(a)}$] $4x+y$の最大値は$[カ]$，最小値は$[キ]$である．
\mon[$\mathrm{(b)}$] $x^2+4x+y$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．

$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．

(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．

このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．

(1)$r=2$とする．

(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$，$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である．

一般に，$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である．

(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$，$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である．

一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．

(2)$r=3$とする．

(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である．

(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

(3)$r=4$とする．

(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である．

(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x^2-6x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}=[イ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字を重複せずに使って整数を作るとき，$4$桁の整数は$[ウ]$個，$2000$より大きな$4$桁の整数は$[エ]$個ある．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\cos \theta+\sin \theta=[オ]$であり，$\cos 2\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とするとき，${12}^{2014}$は$[キ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{10}$は小数第$[ク]$位に初めて$0$でない数字が現れる．