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国立 佐賀大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．