次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 1)$である確率を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,\ n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．

平面上の点で，その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$以外の格子点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$上にある$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$以外の格子点の個数を$n(\mathrm{P})$で表す．たとえば，点$\mathrm{P}(2,\ 3)$については$n(\mathrm{P})=0$である．条件
\[ 1 \leqq a \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq b \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad n(\mathrm{P})=4 \]
をみたす格子点$\mathrm{P}(a,\ b)$の個数を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$のうち，$x,\ y$がともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合$A$を次のように定義する．
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]

(1)$A$の点は全部で$[ム]$個ある．
(2)格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$[メ]$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．
(3)$(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．

(i) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}([モ],\ [ヤ])$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
(ii) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$[ラ]$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(iii) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]}$秒である．

座標平面上で，$x$座標．$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を正の整数として，変数$x,\ y$についての不等式
\[ |x|+|y|<n \]
の表す領域内にある格子点$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めなさい．
(2)$a_{n+1}-a_n$を$n$で表しなさい．
(3)$a_n$を求めなさい．

図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に，白または黒の石を置く．縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を，異なっていれば点線を引き，実線の数を数える操作を行う．図$1$の実線の数は$2$本，図$2$では$5$本である．
（図は省略）

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき，石の置き方にかかわらず，実線の数は偶数になることを示せ．
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき，実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ．ただし，(1)の結果を使ってもよい．

座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．

(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある．
(2)$n$を自然数として，不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である．

自然数$n,\ k$について，$xy$平面上で$0 \leqq y \leqq x$と$y \leqq 2n+k-x$で定まる領域を$C_k$とする．ある整数$a,\ b$に対して，$(a,\ b)$，$(a+k,\ b)$，$(a,\ b+k)$，$(a+k,\ b+k)$を頂点にもつ正方形を$1$辺が$k$の格子点の正方形と呼ぶ事にする．$C_k$に入る格子点の正方形を考える（$C_k$の境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき，$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための，最大の$k$をもとめよ．
(2)$1$辺が$k$の格子点の正方形が，$C_k$内に存在するための$k$の条件を，$n$であらわせ．
(3)$C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき，$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ．
(4)$a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．