「格子点」について
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私立 京都産業大学 2015年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$がある．ここで，$a,\ b$は正の整数である．
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す．ここで，格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数である点のことである．また，三角形の内部は，その三角形の頂点，辺を含まないものとする．
(1)$a=4,\ b=4$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり，それらの座標は$[ ]$である．したがって，$f(4,\ 4)=3$である．
(2)$f(4,\ 8)=[ ]$である．
(3)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(4)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(5)$n$を$2$以上の整数，$k$を$3$以上の整数とする．$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$[ ]$である．
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す．ここで，格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数である点のことである．また，三角形の内部は，その三角形の頂点，辺を含まないものとする．
(1)$a=4,\ b=4$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり，それらの座標は$[ ]$である．したがって，$f(4,\ 4)=3$である．
(2)$f(4,\ 8)=[ ]$である．
(3)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(4)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(5)$n$を$2$以上の整数，$k$を$3$以上の整数とする．$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$[ ]$である．
国立 宮崎大学 2014年 第5問座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2$，直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．
(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
私立 近畿大学 2014年 第3問$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
私立 西南学院大学 2014年 第3問$x$座標，$y$座標がともに整数である点（格子点）に対し，座標$(1,\ 0)$を番号$1$，座標$(2,\ 0)$を番号$2$，座標$(2,\ 1)$を番号$3$として，$x$座標が大きくなるにしたがい，図のように点を積み重ねていき，番号$4,\ 5,\ \cdots$と付けていく．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．
(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．
(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．
（図は省略）
(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．
(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．
(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．
国立 香川大学 2013年 第3問座標平面上の点$(x,\ y)$は，$x,\ y$がともに整数のとき格子点 \\
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．
国立 広島大学 2013年 第2問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 広島大学 2013年 第5問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
私立 成城大学 2013年 第1問座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b+4)$，$\mathrm{C}(0,\ b+4)$を考える．ただし，$a$と$b$は互いに素な自然数とする．
(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．
(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．