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早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第1問
下図のように,$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が,$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている.点$\mathrm{P}$は,$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする.$\mathrm{X}$と記したカードと,$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを,よくシャッフルして上から順にカードをめくる.$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向,$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く.すべてのカードがめくり終わると,点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる.このとき,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AB}$,線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AD}$,線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする.以下の問に答えよ.

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である.
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(図は省略)
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第1問
下図のように,$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が,$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている.点$\mathrm{P}$は,$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする.$\mathrm{X}$と記したカードと,$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを,よくシャッフルして上から順にカードをめくる.$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向,$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く.すべてのカードがめくり終わると,点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる.このとき,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AB}$,線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AD}$,線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする.以下の問に答えよ.

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である.
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(図は省略)
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2012年 第2問
図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に,白または黒の石を置く.縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を,異なっていれば点線を引き,実線の数を数える操作を行う.図$1$の実線の数は$2$本,図$2$では$5$本である.
(図は省略)

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき,石の置き方にかかわらず,実線の数は偶数になることを示せ.
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき,実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ.ただし,(1)の結果を使ってもよい.
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