$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\{2 \cos 2x-(3+3 \sqrt{3})\cos x+3 \sqrt{3}+2\}\cos x \]
の最大値・最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$2$つの実数$a,\ b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている．このとき，$x$の$4$次方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \cdots\cdots (*)\]
を考える．

(1)$x \neq 0$とする．$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき，方程式$(*)$を$z$で表せ．
(2)(1)で求めた$z$の方程式の解は，すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha=p+qi$（$p,\ q$は実数）に対し，$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，$4$次方程式$(*)$の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて$1$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x \sin x}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)等式$\displaystyle (x+yi)^2=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$を満たす実数$x,\ y$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(3)すべての実数$x$に対し，$x^3+2x^2+3x+4=a(x-10)^3+b(x-10)^2+c(x-10)+d$となるような定数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．

曲線$C$は媒介変数$\displaystyle t \ \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$によって，$\displaystyle x=\sqrt{\cos t}\cos \frac{t}{2}$，$\displaystyle y=\sqrt{\cos t}\sin \frac{t}{2}$と表される．

(1)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を求めよ．
(2)$x,\ y$の$t$に関する増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ \sin 2x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\cos x>\frac{3}{2} \]

$2$曲線$C_1:x^2+y^2=1$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)(x-\beta)$を考える．ただし，$\beta>3$とする．また，$C_1$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を通る$C_1$の接線$\ell$が$C_2$にも接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．

$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3)$a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \]
は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．