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国立 東京工業大学 2013年 第5問$a,\ b$を正の実数とし，円$C_1:(x-a)^2+y^2=a^2$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$を考える．
(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{BAC}=90^\circ$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\sqrt{3}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．
(1)$\angle \mathrm{APB}$，$\angle \mathrm{APC}$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．
(1)$\angle \mathrm{APB}$，$\angle \mathrm{APC}$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第2問座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．
(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．
国立 静岡大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．
(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．
国立 静岡大学 2013年 第4問関数
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第2問$n$を自然数とするとき，$(2-\sqrt{3})^n$は$\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$（$m$は自然数）の形で表されることを示せ．
国立 静岡大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．