数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)一般項$b_n$を求めよ．
(2)すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

$f(x)=\sqrt{2}\sin x \cos x+\sin x+\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

2次の正方行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \right)$で定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を関係式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$x_0=1,\ y_0=0$とする．

(1)$A^4$を求めよ．
(2)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ．

$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2,\ (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,\ y,\ z)$は，
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2)次の積分値を求めよ．
\[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]

次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

$xy$平面において，点$(x_0,\ y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は
\[ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
である．これを証明せよ．

座標平面上に2点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos \theta,\ 1-\sin \theta)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．

(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

正の整数$n$に対して$a_n=\sqrt{1+n^2}-n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{2n+1}<a_n<\frac{1}{2n}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．