以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．

(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(10,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(10,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{C}(8,\ -\sqrt{3},\ -3)$，$\mathrm{D}(8,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{E}(-4,\ \sqrt{3},\ 3)$をとる．$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell_3$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$を通る直線を$\ell_4$とする．$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{F}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{G}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{H}$，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$6$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一平面上にあることを示せ．
(2)$4$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$の座標を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{FGHI}$の面積を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{FGHI}$に外接する円の中心座標と半径を求めよ．

関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．

(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

次の$(1)$から$(8)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[　]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[　]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[　]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[　],\ [　],\ [　]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[　]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．

すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．

(1)整数列$\{\alpha_n\},\ \{\beta_n\}$を次で定める．
\[ (5+2 \sqrt{6})^n=\alpha_n+\sqrt{6}\beta_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) 数列$\gamma_n=\alpha_n-\sqrt{6}\beta_n$は等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii) 一般項$\alpha_n,\ \beta_n$を求めよ．

(2)整数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$を次で定める．
\[ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{2}b_n+\sqrt{3}c_n+\sqrt{6}d_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3$をそれぞれ求めよ．
(ii) 一般項$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を先の$\alpha_n,\ \beta_n$を用いて表せ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$\displaystyle \cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$の最大値を求めよ．ただし$\pi>3.1$および$\sqrt{3}>1.7$が成り立つことは証明なしに用いてよい．

$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int e^{-x}\sin^2 x \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+2 \sqrt{x}} \, dx$を求めよ．