平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16}$とする．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．

すべての自然数$n$に対して，不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n-1}}>\sqrt{2n+1}-1 \]
が成り立つことを示せ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{3}{4} \right)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．

(1)$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とする．$K$の中心の座標を求めよ．

次の設問に答えなさい．

(1)$x=2+\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$のとき$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$の値を求めなさい．

(2)$(a+bx+cx^2)^3$の展開式において$x^4$の係数を求めなさい．
(3)$x^2-y^2+3x+y+2$を因数分解しなさい．
(4)$x,\ y$を自然数とするとき，$x^2-y^2+3x+y+2=4$を満たす$x,\ y$を求めなさい．

$s,\ t,\ u$を実数，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする．方程式
\[ f(x)=x^4+sx^3-tx^2+ux+1=0 \]
が$\omega$を解にもつとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$-t=s+1,\ u=s$であることを示しなさい．
(2)$f(\omega^2)=0$であることを示しなさい．
(3)方程式$f(x)=0$が$\omega$，$\omega^2$と異なる解$\alpha$を$2$重解にもつような$s$と$\alpha$の組$(s,\ \alpha)$をすべて求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．

$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える．$(*)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい．
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．

空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式
\[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \]
が成り立つことを示せ．
(2)行列$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3}+1 \\
\sqrt{3}-1 & 2
\end{array} \right)$と自然数$n$に対して，
\[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \]
を満たす実数$b_n$を求めよ．