座標平面の曲線$C:y=\sqrt{x^2+9}$上の点$\mathrm{A}(4,\ 5)$における接線を$L$とする．

(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．

$\displaystyle \frac{4}{4-\sqrt{6}}$の整数部分を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．

(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．

このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$

\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$

である．

次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 7)$とのなす角が${60}^\circ$である長さ$\sqrt{2}$のベクトルをすべて求めよ．
(2)不等式$|x-2|>2x-1$を解け．
(3)$y=x^2$のグラフの$x=k$における接線が$y=-x^2+4x-3$のグラフに接している．このとき，$k$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e x^5 \log x \, dx$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n (x^k)^k$とする．微分係数$f^\prime(1)$を$n$で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2+x}-3x}{1-\displaystyle\frac{1}{x} \cos x}$を求めよ．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$y=\sqrt{x}$で表される曲線$C$と，$C$上の点$\mathrm{A}(4,\ 2)$が与えられている．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線および法線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた法線と曲線$C$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

曲線$C_1:y=x^3-3x$と，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線$C_2$との交点の$x$座標は，$\displaystyle \frac{[ホ] \pm \sqrt{[マ]}}{[ミ]}$である．

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx=\frac{[ムメ]}{[モ]}(b-a)^3$を利用すると，$C_1$と$C_2$で囲まれる面積は，$\displaystyle \frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラ]}$である．

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$のとき，以下の式を完成させよ．

(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$

(2)$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ] \sqrt{[ウ]}$

(3)$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=[エ] \sqrt{[オ]}$

$y=-x^2$で表される放物線を$G$とし，$y=-x+1$で表される直線を$\ell$とする．

$G$上の点と$\ell$上の点との距離が最小となるときの

$G$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$となり，

$\ell$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$となる．
また，そのときの$G$上の点と$\ell$上の点との距離は$\displaystyle \frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$となる．