関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）

$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は

$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．

$(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$（$n$は自然数）を満たす整数の数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．

(1)$a_{n+1}$，$b_{n+1}$のそれぞれを$a_n$と$b_n$で表す漸化式を作れ．
(2)漸化式$a_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n)$を満たす実数の組$(p,\ q)$を$2$組求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$つの漸化式を解いて，一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．

平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$があり，$c>0$として点$\mathrm{C}(0,\ c)$をとる．$\angle \mathrm{ACB}=\theta$として次の問に答えよ．

(1)$c=1$のとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{[$25$][$26$][$27$]}}{[$28$]}$である．
(2)$\theta$が最大になるとき，$\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]}$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\sqrt{[$31$]}$である．

空間内の$2$点$(-1,\ 3,\ -2)$，$(-3,\ 2,\ -1)$を通る直線$\ell$がある．$x$軸上の点$\mathrm{P}$と$\ell$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標は$(-[$55$],\ 0,\ 0)$，$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left(-[$56$],\ \frac{[$57$]}{[$58$]},\ \frac{[$59$]}{[$60$]} \right)$であり，その距離の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$61$]}}{[$62$]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$2^x=5^y=160$であるとき，$xy-x-5y+5=[ア]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$4x$であり，$(x-3)(x-1)$で割ると余りは$3x+3$である．このとき，$P(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ると余りは$[イ]x+[ウ]$である．
(3)$a=9+4 \sqrt{5}$，$b=5-2 \sqrt{6}$とすると

$\displaystyle \frac{1}{a}=[エ]-[オ] \sqrt{[カ]}$，

$\displaystyle \frac{1}{b}=[キ]+[ク] \sqrt{[ケ]}$，

$\displaystyle ab+\frac{1}{ab}=[コ][サ]-[シ][ス] \sqrt{[セ][ソ]}$

である．

$\displaystyle x=\sin \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$[ア] \leqq x \leqq \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．

(2)$\sin \theta \cos 2\theta$を$x$で表すと，$x([エ]-[オ]x^2)$となる．

(3)$\sin \theta \cos 2\theta$は$\displaystyle \sin \theta=\frac{[カ]}{\sqrt{[キ]}}$のとき，最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$をとる．

$C_1$を半径$1$の円とする．$H_1$を円$C_1$に内接する正六角形とし，正六角形$H_1$に内接する円を$C_2$とする．次の各問に答えよ．

(1)円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$である．
(2)円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする．この操作を繰り返し，$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る．このとき，$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は
\[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ] \sqrt{[コ]}}{256} \pi \]
である．
(3)円$C_1$に内接する正十二角形に，円$C^\prime$が内接している．このとき，$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{2 \sqrt{2}}$である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．

中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）