次の関数を考える．

$f_1(x)=x$，$f_2(x)=x+1$，$f_3(x)=x-1$，$f_4(x)=x^2-1 (x \leqq 0)$，
$\displaystyle f_5(x)=\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f_6(x)=\frac{x}{1-x}$，$\displaystyle f_7(x)=\frac{x}{x+1}$，$\displaystyle f_8(x)=\sqrt{x+1}$，
$f_9(x)=-\sqrt{x+1}$

(1)${f_4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)$であり，${f_6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)$である．
(2)$(f_2 \circ f_3)(x)=f_{[ウ]}(x)$，$(f_3 \circ f_5)(x)=f_{[エ]}(x)$であり，
$(f_2 \circ f_{[エ]})(x)=f_{[オ]}(x)$である．
(3)合成関数$y=(f_6 \circ f_9)(x)$の定義域は$x \geqq [カキ]$であり，値域は$[クケ]<y \leqq [コ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{CA}=b$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．また辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=b$となるようにとり，$\angle \mathrm{ADB}=\alpha$とする．

(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$，$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると，$(x,\ y)=[$5$]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である．従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに，$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり，さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる．

以下の各問で，$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$

をとり，

$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$

をとる．

次の$[ア]$から$[コ]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}-2 \sqrt{4+\sqrt{15}}=[ア]$
(2)平行四辺形$\mathrm{OACB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に分ける点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{a}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{b}$である．
(3)あるパーティー会場には$100$名の来場者があった．来場までの交通手段についてアンケートをとったところ，電車を利用した人が$46$名，バスを利用した人が$53$名，両方とも利用した人が$12$名であった．無回答の人はいなかった．このとき，電車もバスも利用していない人は$[カ][キ]$名である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^2 (|x^2+x-2|+1) \, dx=\frac{[ク][ケ]}{[コ]}$

$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると，
\[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \]
が成り立つことを示せ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，

$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とする．このとき，$3$つの条件
\[ (a+b+c)(a-b+c)=3ac,\quad \sin A \sin C=\frac{1+\sqrt{3}}{4},\quad A \leqq C \]
が成り立っているとする．

(1)$\cos B$を求めよ．
(2)$A,\ B,\ C$を求めよ．

平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．

(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．