$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$，$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る．このとき，

(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．

次の設問に答えなさい．

(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．

(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．

正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，

(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 8)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(12,\ 0)$を頂点とする三角形$\triangle \mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]} \]
である．
(2)$u,\ v$を$0<u<2$，$0<v$なる実数とするとき
\[ (u-v)^2+\left( \sqrt{4-u^2}-\frac{18}{v} \right)^2 \]
は
\[ u=\sqrt{[$5$]},\quad v=[$6$] \sqrt{[$7$]} \]
のとき，最小値$[$8$][$9$]$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）

下図のように，等しい辺の長さが$a$，その挟む角（頂角）が$2 \theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x=\cos^2 \theta$とおけば，四面体の体積$V$は
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 |x-a|(x+1) \, dx$を最小にする$a$の値は
\[ a=[$18$][$19$]+\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \sqrt{[$24$][$25$]} \]
である．
(2)$f(a)$を$0 \leqq x \leqq 1$における$|x-a|(x+1)$の最大値とする．このとき$f(a)$を最小にする$a$の値は
\[ a=\frac{[$26$][$27$]}{[$28$][$29$]} \]
である．

円$C_1:x^2+y^2=1$，円$C_2:(x-4)^2+y^2=25$について考える．点$\mathrm{R}(2,\ 0)$から円$C_1$にひいた接線を直線$L$とする（直線$L$の傾きは負の実数とする）．このとき，円$C_2$と直線$L$は$2$つの異なる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a$としたとき，$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$上の点$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ -\frac{3}{2} \right)$における接線の傾きを$k$とする．$\displaystyle \frac{4k^2}{3}$の値を求めよ．

$3$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(3,\ 4,\ 0)$，$\overrightarrow{c}=(x,\ y,\ z)$について考える．$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり，$|\overrightarrow{c}|=2 \sqrt{5}$となる．$|z|$の値を求めよ．