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国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第2問次の各問に答えよ．ここで，必要ならば$0.301<\log_{10}2<0.302$であることを用いてもよい．
(1)$k \leqq \log_{\sqrt{2}}25<k+1$を満たす自然数$k$を求めよ．
(2)$8^n$の桁数が$26$以上になる最小の自然数$n$を求めよ．例えば，$2014$の桁数は$4$である．
(1)$k \leqq \log_{\sqrt{2}}25<k+1$を満たす自然数$k$を求めよ．
(2)$8^n$の桁数が$26$以上になる最小の自然数$n$を求めよ．例えば，$2014$の桁数は$4$である．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
国立 茨城大学 2014年 第3問$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
国立 茨城大学 2014年 第1問区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え，そのグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．
(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．
国立 宇都宮大学 2014年 第5問$\alpha \neq 0$，$\beta \neq 0$として，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
と定める．ただし，$a_1$，$b_1$，$\alpha$，$\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$（$a_n,\ b_n$は実数）の形で表されることを示せ．
(2)$(1)$における$a_n,\ b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$について，行列$P$を用いて
\[ \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \]
と表すとき，行列$P$を求めよ．
(3)$a_1=0$，$b_1=2$，$\alpha=\sqrt{3}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき，$f_{99}(x)$を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
と定める．ただし，$a_1$，$b_1$，$\alpha$，$\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$（$a_n,\ b_n$は実数）の形で表されることを示せ．
(2)$(1)$における$a_n,\ b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$について，行列$P$を用いて
\[ \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \]
と表すとき，行列$P$を求めよ．
(3)$a_1=0$，$b_1=2$，$\alpha=\sqrt{3}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき，$f_{99}(x)$を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2014年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が，$a_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$で定められている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．
(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．