以下の問いに答えよ．

(1)$p>1$，$q>1$のとき，不等式$p+q<pq+1$を証明せよ．
(2)$a>1$，$b>1$のとき，不等式$\sqrt{a+b-1}<\sqrt{a}+\sqrt{b}-1$を証明せよ．
(3)$a>1$，$b>1$，$c>1$のとき，不等式$\sqrt{a+b+c-2}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2$を証明せよ．

$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が，$a_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$で定められている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．