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国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第2問関数
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．関数
\[ y=2 \sin 2\theta-2 \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)+2 \]
について，$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．また，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y<1 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．関数
\[ y=2 \sin 2\theta-2 \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)+2 \]
について，$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．また，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y<1 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．
国立 山形大学 2014年 第1問座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$
国立 室蘭工業大学 2014年 第1問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$，$g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2014年 第4問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$を満たすとする．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表す．また，$s$を実数とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s^2) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．
(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．
国立 福井大学 2014年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．