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国立 佐賀大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)角$\mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin B$と$\cos B$の値を求めよ．
(3)加法定理を用いて，角$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(1)角$\mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin B$と$\cos B$の値を求めよ．
(3)加法定理を用いて，角$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．
国立 琉球大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$，$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$
国立 弘前大学 2014年 第4問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 福島大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．
国立 鳴門教育大学 2014年 第1問$\displaystyle a<\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}<a+1$をみたす自然数$a$に対し，次の問いに答えなさい．
(1)$a$を求めなさい．
(2)$\displaystyle 10 \left( \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-a \right)$の整数部分を求めなさい．
(1)$a$を求めなさい．
(2)$\displaystyle 10 \left( \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-a \right)$の整数部分を求めなさい．
国立 鳴門教育大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
国立 徳島大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．