座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．

(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．

関数
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．

次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int \log (x+1) \, dx$

(2)$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

(3)$\displaystyle \int_0^3 \frac{|x-1| \cdot |x-2|-x^2}{x+1} \, dx$

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^2 2^{\frac{1}{x}} \]
(2)次の定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^1 e^{-\sqrt{1-x}} \, dx$

(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^9}{n^{10}}+\frac{2^9}{n^{10}}+\frac{3^9}{n^{10}}+\cdots +\frac{n^9}{n^{10}} \right) \]