次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は

$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は

$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$

$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$

と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，

$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．

(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．

(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．

(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，

$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．

(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

次の$(1)$，$(2)$から$1$問選択しなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 2)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$とする．

(i) $\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径を求めなさい．

下記の式に従う二つの円，円$\mathrm{A}$および円$\mathrm{B}$がある．

円$\mathrm{A}:x^2+y^2-4x+4 \sqrt{3}y+12=0$
円$\mathrm{B}:(x+1)^2+(y-\sqrt{3})^2=r^2$

$r$は正の定数とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が外接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(2)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が内接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(3)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が直角に交わるとき，すなわち円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$の交点におけるそれぞれの接線が直交するとき，円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の不等式を解きなさい．

(i) $-x<6$
(ii) $-3x+1<x<5x-8$

(2)$(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$を展開しなさい．
(3)以下の数を有理数，無理数，整数，自然数，実数に分類し解答欄に記入しなさい．
\[ 0.5 \qquad \sqrt{2} \qquad 4 \qquad -18 \qquad 0 \qquad 0.\dot{3} \]
解答欄

\begin{tabular}{|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|}
\hline
有理数 & 無理数 & 整数 & 自然数 & 実数 \\ \hline
& $\phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}$ & & & \\ \hline
\end{tabular}

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

(i) $(x-1)(x-2)(x+2)(x+1)$
(ii) $(x+3)^2(x-3)^2$

(2)$m+n=1$となる整数$m$と自然数$n$の組み合わせを次の$\zenkakkoa$～$\zenkakkoki$からすべて選びなさい．
$\zenkakkoa m=1,\ n=0$ \qquad $\zenkakkoi m=0,\ n=1$ \qquad $\zenkakkou m=3,\ n=-2$
$\displaystyle \zenkakkoe m=-0.5,\ n=1.5$ \qquad $\displaystyle \zenkakkoo m=\frac{3}{5},\ n=\frac{2}{5}$ \qquad $\zenkakkoka m=-\sqrt{1},\ n=\sqrt{4}$
$\zenkakkoki m=-5,\ n=6$

(3)$\displaystyle -\frac{4x-1}{3} \leqq x+1$を解きなさい．

(4)$|x+6|>3x$を解きなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)底面の直径が$6$，高さが$9$の直円錐がある．直円錐の内側に球を配置した．直円錐の底面と側面に球が接しているとき，この内接球の半径$r$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており，かつ，円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している．線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ．ただし，円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする．
(3)三階建ての建物がある．図のように$3$階を$\mathrm{AB}$，$2$階を$\mathrm{CD}$，$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき，$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$，$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値（$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$）を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$，$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする．
（図は省略）