関数$f(x)=2 \sqrt{1-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ 2 \sqrt{1-a^2})$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<a<1$とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$d^2$を$a$を用いて表せ．
(4)$d$の値が最小となるような$a$の値と，そのときの$d$の値を求めよ．

平面上に，$\sqrt{2}$だけ離れた$2$つの点がある．これらの点からの距離がともに$1$以下となる領域の面積を求めよ．

自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．

(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$のとき，$x^3y+xy^3$の値は$[　]$である．
(2)不等式$-3<x^2-4x<45$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$3$次方程式$x^3-3x^2+4x-2=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=[　]$である．
(4)座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2,\ -2)$，$\mathrm{B}(5,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ -2)$，$\mathrm{D}(3,\ a)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が垂直になるのは$a=[　]$のときである．
(5)$xy$平面上の$2$点$(0,\ 1)$，$(0,\ -1)$からの距離の和が$4$である曲線を
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
の形で表すと$(a,\ b)=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき


$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$

$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$


である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると


$a=[ク]$

$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$


である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．

座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$（ただし$x>0,\ t>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える．$\ell_1$の傾きは$[ア][イ]$，$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$であり，点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{[オ]}{[カ]}$である．また，$\ell_1$，$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[キ]}{[ク][ケ]} \log [コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]} \]
である．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}$のときである．また，$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．

(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．

辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=5$とする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(2)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$\displaystyle \frac{[サシ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$である．