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私立 広島経済大学 2015年 第5問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$n$を自然数とする．$\sqrt{504n}$は$n=[$39$]$のとき最小の自然数$[$40$]$になる．
(2)和が$80$，最大公約数が$16$である$2$つの自然数の差は$[$41$]$または$[$42$]$である．但し$[$41$]<[$42$]$とする．
(3)$9$で割ると$2$余り$8$で割ると$3$余る自然数$n$のうち，$10 \leqq n \leqq 100$を満たす$n$は$[$43$]$と$[$44$]$である．但し$[$43$]<[$44$]$とする．
(4)$112,\ 211,\ 409$のいずれを割っても余りが$13$となる自然数のうち，最大の自然数は$[$45$]$であり，最小の自然数は$[$46$]$である．
(1)$n$を自然数とする．$\sqrt{504n}$は$n=[$39$]$のとき最小の自然数$[$40$]$になる．
(2)和が$80$，最大公約数が$16$である$2$つの自然数の差は$[$41$]$または$[$42$]$である．但し$[$41$]<[$42$]$とする．
(3)$9$で割ると$2$余り$8$で割ると$3$余る自然数$n$のうち，$10 \leqq n \leqq 100$を満たす$n$は$[$43$]$と$[$44$]$である．但し$[$43$]<[$44$]$とする．
(4)$112,\ 211,\ 409$のいずれを割っても余りが$13$となる自然数のうち，最大の自然数は$[$45$]$であり，最小の自然数は$[$46$]$である．
私立 天使大学 2015年 第2問$\mathrm{BC}=1$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点とは異なる点で，$\triangle \mathrm{PQR}$は正三角形である．次の問いに答えなさい．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
私立 天使大学 2015年 第3問関数$f(x)=(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)+b$を考える．ただし$a$と$b$は定数であり，$f(x)$の最小値が$-4$，$f(1)=13$をみたすとする．次の問いに答えなさい．
(1)$X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である．
(2)$b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である．
(3)$\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である．
(4)定数$a$と$b$の値を求めなさい．
$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき，$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である．
$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき，$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である．
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である．
(1)$X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である．
(2)$b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である．
(3)$\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である．
(4)定数$a$と$b$の値を求めなさい．
$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき，$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である．
$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき，$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である．
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である．
私立 京都女子大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$2$つの直線$y=-x+2$と$y=\sqrt{3}x$のなす鋭角$\theta$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$5$回投げるとき，$1$の目が$2$回以上出る確率を求めよ．
(3)不等式$x^2-a^2x<(2a+3)x-2a^3-3a^2$（$a$は定数）を$x$について解け．
(1)$2$つの直線$y=-x+2$と$y=\sqrt{3}x$のなす鋭角$\theta$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$5$回投げるとき，$1$の目が$2$回以上出る確率を求めよ．
(3)不等式$x^2-a^2x<(2a+3)x-2a^3-3a^2$（$a$は定数）を$x$について解け．
私立 京都女子大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$1$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
私立 西南学院大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
私立 西南学院大学 2015年 第5問以下の問に答えよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
私立 西南学院大学 2015年 第2問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．
\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$
(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．
(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．
\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$
(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．
私立 広島文化学園大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．