$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=1$の長方形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{APQ}$がある．三角形$\mathrm{APQ}$の頂点$\mathrm{P}$は長方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に，頂点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{CD}$上にあり，$\mathrm{CQ}=4 \mathrm{BP} (\mathrm{BP} \neq 0)$を満たしている．三角形$\mathrm{APQ}$の面積を$S$とおいて，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle S=\frac{[$15$]}{[$16$]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{ADQ}$の面積の和は$[$17$]$である．
(3)$\mathrm{BP}=x (0<x \leqq 1)$とおくと$S=[$18$]x^2-[$19$]x+[$20$]$であり，$\displaystyle S=\frac{7}{4}$となるのは$\displaystyle x=\frac{[$21$] \pm \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$のときである．また$\displaystyle x=\frac{[$24$]}{[$25$]}$のとき$S$は最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[$26$]}{[$27$]}$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，


$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり

$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．


(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．

次の各問に答えよ．

(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線が円$\mathrm{O}$と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{D}$とする．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．

(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．

(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$n$を自然数とする．$\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}$は$n=[$48$]$のとき最大の自然数$[$49$]$になる．

(2)積が$640$，最大公約数が$8$である$2$つの自然数の和は$[$50$]$または$[$51$]$である．但し$[$50$]<[$51$]$とする．
(3)$3x+7y=49$を満たす自然数$x$と$y$の組$(x,\ y)$は$([$52$],\ [$53$])$と$([$54$],\ [$55$])$である．但し$[$52$]<[$54$]$とする．
(4)$3$進数$1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$[$56$]$である．また，$3$進数$0.1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$\displaystyle \frac{[$57$]}{[$58$]}$である．

次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 0.8-\frac{2}{3} \right) \div \frac{2}{3}$
(2)$(-2)^2 \times 2^{-2}-(-2^2) \times 2^0$
(3)$2 \sqrt{3}-2 \sqrt{12}+\sqrt{27}$
(4)$3x^2y \div 2xy^2 \times (-2y)^2$

ベクトル$(1,\ 1,\ -1)$と直交し，ベクトル$(1,\ 0,\ 1)$とのなす角が${30}^\circ$で，大きさが$\sqrt{6}$のベクトルは$2$つある．これらをすべて求めよ．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

次の各設問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．

(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．

$\mathrm{AB}=2 \sqrt{3}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．

(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．