次の各問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ 極限値$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3 \cdot 1}{n^2+1^2}+\frac{n+3 \cdot 2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n+3 \cdot n}{n^2+n^2} \right)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{(x-\pi)^2}=\frac{1}{8}$となるような定数$a,\ b$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．

関数$y=-ax^2+4ax+b (a>0) \cdots\cdots①$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a=1,\ b=8$とする．関数$①$の最大値は$[$18$]$である．また$①$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$[$19$] \pm [$20$] \sqrt{[$21$]}$である．

(2)$①$のグラフが$x$軸に接するとき$\displaystyle a=-\frac{[$22$]}{[$23$]}b$である．

(3)関数$①$の最大値が$5$でそのグラフが点$(3,\ 2)$を通るとき$a=[$24$]$，$b=-[$25$]$である．
(4)$2 \leqq x \leqq 3$における関数$①$の最大値が$10$，最小値が$8$であるとき$a=[$26$]$，$b=[$27$]$である．

次の問に答えよ．

(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$のグラフの$x=\pi$における接線の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(2 \cos {30}^\circ,\ 2 \sin {30}^\circ)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{OBA}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$を満たす．このとき$a$の値を求めよ．ただし，$a<\sqrt{3}$とする．
(3)不等式$|x+1|-3 |x-1| \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$に対し，$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (n+k)^2$とする．$S_n$を$n$の式で表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \, dx$の値を求めよ．

曲線$y=\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$F$，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}} \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$G$とする．

(1)$F$と$G$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上に$F$と$G$を図示せよ．$(1)$で求めた交点の座標に加え，軸との交点の座標もかくこと．
(3)$F$と$G$で囲まれた部分（境界線を含む）に含まれる点のうち，$x$と$y$がともに整数となる点の座標をすべて求めよ．

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$x+y$を計算せよ．
(2)$xy$を計算せよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を計算せよ．

(4)$x^2+y^2$を計算せよ．

$\mathrm{AB}=5 \sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=6$，$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$を満たす$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$を定める．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[$28$]$である．
(2)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BD}=[$30$]$である．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$の面積は$[$31$]$である．

(4)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{CAD}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．

(5)直線$\mathrm{AD}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{E}$とする．

このとき，$\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．