$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right)$の値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，円に内接する．各辺は，それぞれ，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$であるとする．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle \frac{S}{\sqrt{30}}$の値を求めよ．

$xy$平面上に放物線$\displaystyle P:y=\frac{1}{4}x^2$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(a^2-1)$がある．ただし，$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である．$P$と$\ell$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_A$，$x_B$とおくと，$x_A<x_B$である．

次に，線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく．長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，

(1)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{[$40$]}{[$41$]}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{[$42$]}a$である．
(2)$S(a)$を$a$の式で表すと
\[ S(a)=\frac{[$43$][$44$]}{[$45$]}a^3+\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}a \]
である．
また，$S(a)$が最大値をとるとき，$a$の値は$\sqrt{[$49$][$50$]}$である．
(3)放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が，$S(a)$の$3$倍であるとき，$a$の値は$[$51$] \sqrt{[$52$]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．

$2$つの点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 2)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$について考える．線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{PB}$の長さの和の最小値を$m$としたとき，$\displaystyle \frac{m}{\sqrt{5}}$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$\sqrt{15}$である正四面体$\mathrm{OABC}$について考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=m$としたとき，$\displaystyle \frac{64m^2}{185}$の値を求めよ．

$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3 \sqrt{5}$であるとする．$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は（$t$は実数），$t=c$のとき，最小値$m$をとる．$\displaystyle \frac{mc}{3}$の値を求めよ．

円$C_1:x^2+y^2=a^2$（$a$は正の実数）のとき，円$C_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(-a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 0)$とする．円$C_2$は点$\mathrm{A}$を中心とする円であり，円$C_1$上の点$\mathrm{P}$（$\mathrm{P}$の$y$座標は正の実数とする）で円$C_1$と交わることとする．線分$\mathrm{AB}$と円$C_2$の交点を$\mathrm{Q}$としたとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を$M$とする．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}M}{2a}$の値を求めよ．

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{(n+2)(n+3)}-\sqrt{(n-2)(n-3)} \right\}=a$とする．極限値$a$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$1$][$2$]}}{[$3$]}$である．
(2)点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は
\[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{[$4$]}{[$5$]} \]
である．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，
\[ \frac{\sqrt{[$6$][$7$]}}{21} \left( [$8$],\ -[$9$],\ 1 \right) \]
である．
(4)$t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は
\[ V(t)=\frac{[$10$]}{[$11$][$12$]} \left( t^2-[$13$]t+[$14$][$15$] \right) \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$V(a_n)$は，$n=[$16$]$で最小となる．