以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．

次の関数$f(x),\ g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$

数列$\{a_n\}$は
\[ \sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4,\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．$a_1=1$，$a_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．

$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]

$0<a<b$を満たす実数$a,\ b$に対し，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$，$x$軸及び$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形の面積を$S(a,\ b)$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．$S(n,\ 3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(n,\ n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} S(n,\ n+k) \]