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国立 名古屋工業大学 2015年 第4問四面体$\mathrm{ABCD}$は
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第5問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第2問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第1問平面上の三角形$\mathrm{ABC}$で，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=7$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=5$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$となるものを考える．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第4問$a>0$を実数とする．関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．
(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．
(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第3問$a>0$とする．曲線$y=e^{-x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=a$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$A$とする．
(1)$A$の体積$V$を求めよ．
(2)点$(t,\ 0) (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式
\[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \]
を示せ．
(3)不等式
\[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \]
を示せ．
(1)$A$の体積$V$を求めよ．
(2)点$(t,\ 0) (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式
\[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \]
を示せ．
(3)不等式
\[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \]
を示せ．
国立 静岡大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第1問$a$を実数とする．曲線$C_1:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とする．曲線$C_2$を$y=x^2-1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とする．曲線$C_3:y=-x^2+1$と$C_2$とで囲まれた部分は$\ell$によって$2$つの部分に分けられる．これらのうち，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を含む部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とする．曲線$C_3:y=-x^2+1$と$C_2$とで囲まれた部分は$\ell$によって$2$つの部分に分けられる．これらのうち，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を含む部分の面積を求めよ．