$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解が$\displaystyle x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$であるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 2^{\frac{3}{2}}-2^{-\frac{1}{2}} \right)^2=\frac{[　]}{2}$
(2)方程式$3^{2x-5}=\sqrt[5]{9}$の解は，$\displaystyle x=\frac{[　]}{10}$である．
(3)方程式$\displaystyle \log_{16}(x+5)=\frac{3}{2}$の解は$x=[　]$である．
(4)不等式$\log_{\frac{1}{2}} (x-3)>-3$の解は，$[　]<x<[　]$である．

$2$次関数$f(x)=x^2+2x+2,\ g(x)=x^2-2x+4,\ h(x)=2x^2$について次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)連立不等式$y \leqq f(x)$，$y \leqq g(x)$，$y \geqq h(x)$の表す領域を$D$とする．$D$の面積を$a+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}$（ただし，$a,\ b,\ c$は有理数）とするとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3,\ y+\frac{1}{y}=5$のとき，$x$の値は$\displaystyle \frac{[　] \pm \sqrt{[　]}}{[　]}$，$y$の値は$\displaystyle \frac{[　] \pm \sqrt{[　]}}{[　]}$であり，$\displaystyle xy+\frac{1}{xy}$の値は$\displaystyle \frac{[　] \pm \sqrt{[　]}}{[　]}$である．

下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[　]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
（図は省略）

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．

円$\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3,\ \cdots$があり，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して

(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．

このとき

(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[　]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[　]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[　]$である．

放物線$C:y=x^2-6x+a$（$a$は正の実数）は，$x$軸と，異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるものとする．$x$座標の値の小さい方を$\mathrm{A}$とする．また

$C$と$x$軸および$y$軸の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_1$
$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$
$C$と$x$軸および直線$x=6$の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_3$

とする．

(1)$a$の取り得る値の範囲は$[　]<a<[　]$である．
(2)$S_1+S_3=S_2$となるのは$a=[　]$のときである．
(3)$(2)$が成り立つとき

$\mathrm{A}$の$x$座標は$[　]-\sqrt{[　]}$
$\mathrm{B}$の$x$座標は$[　]+\sqrt{[　]}$

であり，$S_1+S_3$の値は$[　] \sqrt{[　]}$である．