$\displaystyle x=\frac{1+a^2}{2a}$（$a \geqq 1$，$a$は実数）であるとき，$\displaystyle a \left( \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} \right)$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$2$直線$x+y-5=0$，$(\sqrt{3}-2)x-y-4 \sqrt{3}=0$のなす角を$\theta$とする（$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$）．$\displaystyle \frac{\pi}{\theta}$の値を求めよ．

円$C:(x-6)^2+y^2=25$と直線$L:y=ax$（$a$は実数，$a>0$）について考える．$C$と$L$の$2$つの相異なる交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$C$の中心と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$でつくる三角形の面積が最大となる$a$を$A$とする．$\sqrt{47}A$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ．
(2)$(x+y)(3x-2y+z)^6$の展開式における$x^2y^2z^3$の係数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ．
(2)$(x+y)(3x-2y+z)^6$の展開式における$x^2y^2z^3$の係数を求めよ．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とし，次の方程式$①$を考える．
\[ (\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)^4-12 \cos^2 \theta-6 \sqrt{3} \sin 2\theta+2=0 \cdots\cdots① \]
このとき，$x=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$として，以下の問いに答えよ．

(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x^2$を$\cos \theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．
(3)方程式$①$を$x$を用いて表し，得られた方程式をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$①$をみたす$\theta$の値をすべて求めよ．

大きさ$\sqrt{3}$のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさ$2$のベクトル$\overrightarrow{b}$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{4}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{p}=(\cos t) \overrightarrow{a}+(\sin t) \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}=(-\sin t) \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}$とするとき，${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$を$t$で表しなさい．
(3)$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲で(2)の${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$の最大値と最小値を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．